中央空调系统物理建模原理 (Physics & Math Reference)

本系统采用 灰箱模型 (Grey-box Modeling) 技术路线。以下是各组件的核心物理定律与数学公式，并附带权威出处以供查证。

1. 水泵 (Pump) - 高保真流体模型

1.1 扬程-流量特性 (H-Q Curve)

该公式是 欧拉叶轮机械理论 (Euler's Turbomachinery Theory) 与 实验数据拟合 的结合产物。

1.1.1 公式推导 (Derivation)

1. 基准曲线 (Reference Curve):
   在额定转速 (​n_{rated}, 通常为 50Hz) 下，水泵的 H-Q 曲线通常呈现“驼峰形”或单调下降。工程上使用二次多项式能完美拟合该曲线[1]：

   H_{rated}(Q_{rated}) = h_0 + h_1 Q_{rated} + h_2 Q_{rated}^2

2. 相似定律 (Affinity Laws):
   根据流体力学相似原理，当转速从 ​n_{rated} 变为 ​n 时 (定义转速比 ​r = n/n_{rated}):

   • 流量线性变化: ​Q = Q_{rated} \cdot r \implies Q_{rated} = \frac{Q}{r}
   • 扬程平方变化: ​H = H_{rated} \cdot r^2 \implies H_{rated} = \frac{H}{r^2}

3. 最终形式 (Final Equation):
   将 (2) 代入 (1) 整理得变频特性方程：

   \frac{H}{r^2} = h_0 + h_1 \left(\frac{Q}{r}\right) + h_2 \left(\frac{Q}{r}\right)^2
   H(Q, n) = \left( h_0 + h_1 \frac{Q}{r} + h_2 \left(\frac{Q}{r}\right)^2 \right) \cdot r^2

1.1.2 参数详解 (Parameters)

• ​H: 实际扬程 (Actual Head) [m] —— 水泵当前输出的能量压头。
• ​Q: 实际流量 (Actual Flow) [m³/h] —— 水泵当前输送的水量。
• ​n: 当前转速/频率 (Current Speed/Freq) [RPM 或 Hz] —— 水泵实际运行的快慢 (例如 35Hz)。
• ​n_{rated}: 额定转速/频率 (Rated Speed/Freq) [RPM 或 Hz] —— 水泵名牌上的满载转速 (通常为 50Hz 或 2900 RPM)。
• ​r: 转速比 (Speed Ratio) [无量纲 0.0-1.0] —— ​r = n / n_{rated} (例如 ​r = 35/50 = 0.7)。
• ​h_0: 关死扬程 (Shut-off Head) [m] —— 阀门全关 (​Q=0) 且满转速时的理论最高扬程。通常体现了叶轮离心力产生的静压。
• ​h_1: 线性损耗系数 [m/(m³/h)] —— 通常为 0 或很小的数，反映叶片角度对流线的影响。
• ​h_2: 二次阻力系数 [m/(m³/h)²] —— 这是一个负数 (​h_2 < 0)。它代表了泵内部的流体摩擦损失 (Internal Friction)，流量越大，摩擦损失呈现平方级增加，导致有效扬程下降。
• 来源出处: ASHRAE Handbook - HVAC Systems and Equipment (2020), Chapter 44, Eq 4. 以及 Rishel (2006) P.45.

1.2 效率曲线 (Efficiency Curve)

不再使用简单的定值，而是采用 ISO 9906 标准 推荐的多项式拟合，并叠加 低雷诺数修正。

1.2.1 公式推导 (Derivation)

1. 水力效率 (Hydraulic Efficiency):
   在额定转速下，效率曲线通常呈抛物线状，存在一个最优效率点 (BEP - Best Efficiency Point)。

   \eta_{hyd, rated}(Q) = e_0 + e_1 Q + e_2 Q^2

2. 变速修正 (Speed Correction):
   传统的相似定律认为效率在不同转速下保持不变 (​\eta \approx const)。但在低频 (如 < 30Hz) 下，流体雷诺数 (​Re) 显著降低，摩擦系数增加，导致效率衰减。

   \text{Penalty}(r) = 1 - 0.05 \times (1 - r)^3 \quad (\text{Empirical formula})
   \eta_{hyd}(Q, r) = \eta_{hyd, rated}(Q_{eq}) \times \text{Penalty}(r)

1.2.2 参数详解 (Parameters)

• ​\eta_{hyd}: 水力效率 (Hydraulic Efficiency) [0.0-1.0] —— 仅指泵头将机械能转化为压力的效率，不含电机损耗。
• ​e_0, e_1, e_2: 特性系数 —— 通过拟合厂家样本曲线获得。​e_2 必为负值，体现边际收益递减。
• ​Q_{eq}: 等效流量 —— ​Q_{eq} = Q / r (还原到 50Hz 下的流量)。
• 来源出处: Bernier & Bourret (1999) [2], ASHRAE Handbook (2020) Eq 8.

[工程注解 Engineering Note]:
在实际 HVAC 应用中，VFD 频率通常设定下限 (Min Speed ​\ge 30Hz, 即 ​r \ge 0.6) 以保证电机散热和基本流速。
在此范围内，流体处于完全湍流区 (Fully Turbulent)，​Penalty \approx 1.0，工程计算中通常可忽略此修正项，直接使用相似定律。该公式仅用于学术完整性或极端低频工况分析。

1.3 功率计算 (Power Calculation)

基于 能量守恒定律 (Conservation of Energy)，展示从流体有效功到电网输入功的完整转化链。

1.3.1 公式推导 (Derivation)

1. 有效功 (Fluid Power):

   P_{fluid} = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot H}{3.6 \times 10^6}

   (注意：除以 ​3.6 \times 10^6 是为了将 ​J/s 换算为 ​kW)

2. 轴功率 (Shaft Power):

   P_{shaft} = \frac{P_{fluid}}{\eta_{hyd}}

3. 电功率 (Electric Power):

   P_{elec} = \frac{P_{shaft}}{\eta_{motor} \cdot \eta_{vfd}} = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot H}{3.6 \times 10^6 \cdot \eta_{hyd} \cdot \eta_{motor} \cdot \eta_{vfd}}

1.3.2 参数详解 (Parameters)

• ​P_{elec}: 电功率 (Electric Power) [kW] —— 变频器输入的有功功率，即最终耗电量。
• ​P_{shaft}: 轴功率 (Shaft Power) [kW] —— 电机输出到泵轴的机械功率。
• ​\rho: 流体密度 (Density) [kg/m³] —— 通常取 ​1000 kg/m^3 (4°C 水)。
• ​g: 重力加速度 (Gravity) [m/s²] —— 标准值 ​9.81 m/s^2。
• ​Q: 流量 (Flow Rate) [m³/h] —— 注意单位是立方米每小时。
• ​H: 扬程 (Head) [m] —— 水柱高度。
• ​3.6 \times 10^6: 单位换算因子 (Conversion Factor) —— 来源：​1 m^3/h = 1/3600 m^3/s，且 ​1 kW = 1000 W。因此 ​3600 \times 1000 = 3.6 \times 10^6。
• ​\eta_{hyd}: 水力效率 [Decimal, 0~1] —— 泵体本身转换能量的效率 (例如 0.75)。
• ​\eta_{motor}: 电机效率 [Decimal, 0~1] —— 电马达将电能转化为机械能的效率 (例如 0.95)。
• ​\eta_{vfd}: 变频器效率 [Decimal, 0~1] —— 变频器电子元件的效率 (例如 0.98)。
• 来源出处: White (2011) Section 11.4 [3].

2. 管网 (Hydraulic Network)

2.1 管路阻抗特性 (System Curve)

基于 达西-魏斯巴赫公式 (Darcy-Weisbach Equation)。

2.1.1 公式推导 (Derivation)

应用 伯努利能量方程 (Bernoulli's Equation) 于泵的进出口：

1. 能量平衡:

   H_{pump} + z_1 + \frac{P_1}{\rho g} = z_2 + \frac{P_2}{\rho g} + h_f

   其中 ​z 是高度，​P 是压力，​h_f 是沿程阻力损失。

2. 静压头 (Static Head):
   移项整理，定义静压头为提升高度差与末端压差之和：

   H_{static} = (z_2 - z_1) + \frac{P_2 - P_1}{\rho g}

3. 动压头 (Friction Head):
   沿程阻力 ​h_f 与流量的平方成正比 (达西公式)：

   h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} = S \cdot Q^2

4. 最终方程:

   H_{sys} = H_{static} + S \cdot Q^2

2.1.2 参数详解 (Parameters)

• ​H_{sys}: 系统总扬程 (System Head) [m] —— 管网需要的总压力，用于克服静压差和流动阻力。
• ​H_{static}: 静压头/提升高度 (Static Head) [m] —— 流体需要被提升的垂直高度差。
  • 开式系统 (如冷却塔回路): 大于 0，需要克服水位差 (通常 2~5m)。
  • 闭式系统 (如冷冻水回路): 等于 0，因为供水和回水的重力相互抵消。
• ​S: 管网阻抗系数 (System Impedance) [​h^2/m^5] —— 综合反映管路“堵”的程度。
  • 单位说明: 因为 ​Q 用 ​m^3/h，故 ​S 的单位需匹配为 ​m / (m^3/h)^2，即 ​h^2/m^5。
  • 物理构成: ​S \propto \frac{L}{D^5} (阻力与管长成正比，与管径的 5 次方成反比)。
• ​Q: 流量 (Flow Rate) [m³/h] —— 管路中的实际水流量。
• 来源出处: ASHRAE Handbook - Fundamentals (2021), Chap 21 Eq 1 [4].

2.2 阀门调节 (Valve Authority)

2.2.1 公式推导

阀门相当于一个 可变流阻。与标准流体公式 (​Q = K_v \sqrt{\Delta P}) 相比，灰箱模型更倾向于使用阻抗形式 (​H = S \cdot Q^2)。

2.2.2 参数详解 (Parameters)

• ​S_{total}: 系统总管阻 [​h^2/m^5] —— 包含管道固定阻力和阀门可变阻力。
• ​S_{pipe}: 管道固定阻抗 [​h^2/m^5] —— 阀门全开时的管路基础阻力 (由管长、弯头、过滤器等决定)。
• ​S_{valve\_min}: 阀门最小阻抗 [​h^2/m^5] —— 阀门全开 (​position=1.0) 时的固有阻力。
• ​position: 阀门开度 [0.0 - 1.0] —— 1.0 为全开，0.0 为全关。注意实际阀门可能有非线性特性，此处假设经过了修正 (Linearized)。
• ​K_v vs ​S 的关系: 标准流量系数 ​K_v (单位 ​m^3/h \cdot bar^{-0.5}) 与阻抗 ​S 成平方反比关系：
  \propto \frac{1}{K_v^2}
• ​H_{sys}: 系统所需扬程 [m] —— 水泵需要提供的压头。
• 来源出处: Rishel (2006) Chapter 6 "Valve Authority" [5].

3. 冷水机组 (Chiller)

3.1 Gordon-Ng 模型 (The Gordon-Ng Model)

这是一个基于物理的灰箱模型，推导自 热力学第二定律 (Second Law of Thermodynamics)。

3.1.1 公式推导 (Derivation)

1. 卡诺循环 (Carnot Cycle):
   理想制冷机的 COP 仅取决于温度：​COP_{carnot} = \frac{T_{evap}}{T_{cond} - T_{evap}}。

2. 引入不可逆性 (Irreversibilities):
   Gordon & Ng 在卡诺模型基础上引入了三类损耗：

   • 外部传热温差: 热交换器不是无限大，存在 ​\Delta T。
   • 内部热漏 (Internal Heat Leak): ​Q_{leak}，导致压缩机多做功。
   • 内部摩擦/熵增 (Internal Entropy Production): 各种机械摩擦。

3. 最终方程:

   \frac{1}{COP} = -1 + \frac{T_{cond,in}}{T_{evap,out}} + \frac{A}{Q_{load}} + B \frac{T_{cond,in} - T_{evap,out}}{Q_{load}}

   通常为了控制求解的稳定性，工程上常采用其 线性化近似形式 (Linearized Approximation)：

   P_{elec} \approx c_0 + c_1 \cdot Q_{load} + c_2 \cdot (T_{cond,in} - T_{evap,out})

3.1.2 参数详解 (Parameters)

• ​P_{elec}: 冷机输入功率 [kW] —— 压缩机耗电量。
• ​Q_{load}: 制冷量 (Cooling Load) [kW] —— 冷机移出的热量 (即蒸发器侧负荷)。
• ​COP: 性能系数 [无量纲] —— ​COP = Q_{load} / P_{elec}。
• ​T_{cond,in} (​T_{cw,in}): 冷却水回水温度 [°C 或 K] —— 来自冷却塔的水温，取决于天气和塔效率。
• ​T_{evap,out} (​T_{chw,out}): 冷冻水出水温度 [°C 或 K] —— 供给末端的冷水温度 (通常设定为 7°C)。
• ​c_0: 固定损耗 (Fixed Loss) [kW] —— 负荷为 0 时的基准功耗。
  • 物理来源: 机械摩擦、油泵功耗、控制面板功耗。
• ​c_1: 内部不可逆系数 [无量纲] —— 线性的效率损耗项。
  • 物理来源: 换热器的有限传热温差导致的熵增。
• ​c_2: 压头损耗系数 [kW/K] —— 提升压头 (Lift) 带来的额外功耗。
  • 物理来源: ​(T_{cond} - T_{evap}) 温差越大，压缩机压比越高，做功越多。
• 来源出处: Gordon, J. M., & Ng, K. C. (1994) Eq 3.1-3.5 [6].

4. 冷却塔 (Cooling Tower)

4.1 ​\epsilon-NTU 法 (Effectiveness-NTU)

源自 Merkel 焓差理论 (Merkel's Enthalpy Potential Theory)。

4.1.1 公式推导 (Derivation)

1. 效能定义 (​\epsilon):

   \epsilon = \frac{Q_{actual}}{Q_{max}} = \frac{T_{in} - T_{out}}{T_{in} - T_{wb}}

   ​Q_{max} 是假设水能无限冷却直到变为湿球温度 ​T_{wb}。

2. 传热单元数 (NTU):
   根据传热学，效能仅取决于 NTU 和流率比 (Capacity Ratio)。

   NTU = \frac{UA}{C_{min}} \approx c \cdot \left( \frac{m_{water}}{m_{air}} \right)^n

   这里 ​c \cdot (m_w/m_a)^n 是对复杂的传热积分的工程近似。

4.1.2 参数详解 (Parameters)

• ​\epsilon: 冷却效率/效能 (Effectiveness) [无量纲 0.0-1.0] —— 冷却塔实际降温幅度与理论最大降温幅度的比值。
  • ​\epsilon = \frac{\text{Range}}{\text{Range} + \text{Approach}}
• ​T_{cw,in}: 冷却水进水温度 [°C] —— 从冷机回来的热水温度。
• ​T_{cw,out}: 冷却水出水温度 [°C] —— 冷却后送往冷机的水温。
• ​T_{wb}: 湿球温度 (Wet-Bulb Temp) [°C] —— 当前空气在此条件下能冷却水的理论极限温度 (取决于环境湿度)。
• ​NTU: 传热单元数 [无量纲] —— 衡量冷却塔换热能力的综合指标。
• ​c, n: 填料特性系数 [无量纲]。
• 来源出处: Braun (1989) [7].

[复杂度解析 Complexity Note]:
您看到的这个公式是经过高度工程简化的 集总参数模型 (Lumped Model)，专用于系统控制。
真实的冷却塔物理过程极其复杂，涉及 热质交换微分方程组 (Simultaneous Heat & Mass Transfer)：

\frac{dh_a}{dV} = \frac{Ka}{L} (h_{s,w} - h_a) \quad \text{(Merkel Integral)}

如果采用“白箱模型”(Poppe Method)，需要对塔高 ​z 进行切片积分，计算量极大且无法用于实时优化。
​\epsilon-NTU 法 的精髓在于它把这些复杂的微分积分过程，拟合成了一个简单的指数函数 (​1 - e^{-NTU})，准确度误差通常 < 5%，完全满足工程预测需求。

5. 全局优化目标

s.t.

• ​T_{chw,sup} \le 7^\circ C (满足末端舒适度)
• 设备运行在安全边界内 (如冷机喘振区、冷却塔漂水区)

5.1 参数详解 (Parameters)

• ​J: 总能耗代价函数 (Cost Function) [kW] —— 系统所有用电设备的实时功率总和。
• ​P_{chiller}: 冷水机组总功率 [kW] —— 通常是系统中占比最大(50%~70%)的部分。
• ​P_{pumps}: 水泵总功率 [kW] —— 包括冷冻泵和冷却泵。
• ​P_{towers}: 冷却塔风机总功率 [kW] —— 调节 ​T_{cw} 的主要手段。
• ​T_{chw,sup}: 冷冻水供水温度 [°C] —— 系统必须满足的硬性约束，直接影响末端制冷效果。
• 来源出处: Wang, S., & Ma, Z. (2008). "Supervisory and optimal control" [8].

6. 复杂水力拓扑 (Complex Topologies)

适用性声明: 上述组件级公式 (Component Physics) 具有普适性。对于多泵并联、多机组汇管等复杂系统，需通过 网络方程 (Network Equations) 进行耦合求解。

6.1 多泵并联 (Parallel Pumps)

当多台水泵并联运行时，遵循 扬程相等，流量叠加 原则。

• 物理约束:

  _{sys} = H_{pump,1}(Q_1, n_1) = H_{pump,2}(Q_2, n_2) = \dots
  _{total} = Q_1 + Q_2 + \dots

• 求解难点:如果各泵频率不同 (​n_1 \ne n_2)，需迭代求解各泵的流量分配，使得它们输出扬程一致且等于管网阻力。

• 来源出处: Rishel (2006) Chapter 12 "Parallel Pumping" [5].

6.2 节点平衡方程 (Node Balance Equations)

对于包含 总管 (Common Header) 或 耦合回路 (Decoupler) 的系统，需在每一个节点建立守恒方程 (类似电路中的基尔霍夫定律)：

1. 质量守恒 (Mass Balance):
   \sum \dot{m}_{in} = \sum \dot{m}_{out}
2. 能量/温度守恒 (Energy Balance):
   不同温度的水流汇合时，混合温度由加权平均决定：
   T_{mix} = \frac{\sum (\dot{m}_i \cdot T_i)}{\sum \dot{m}_i}

• 来源出处: ASHRAE Handbook - Systems and Equipment (2020), Chapter 13 "Hydronic Heating and Cooling" [1].

6.3 参数详解 (Parameters)

• ​H_{sys}: 并联节点总扬程 [m] —— 并联泵组对管网共同输出的压头。
• ​Q_{total}: 总流量 [m³/h] —— 并联泵组输出的总水量。
• ​\dot{m}: 质量流量 [kg/s] —— 在能量守恒方程中使用，​\dot{m} = \rho \cdot Q / 3600。
• ​T_{mix}: 节点混合温度 [°C] —— 来自不同支路的流体汇合后的最终温度。
• ​T_i: 支路温度 [°C] —— 第 ​i 个支路的水温。

该理论体系完全支持 一次泵变流量 (VPF)、二次泵系统 (Primary-Secondary) 以及 多级环路 等复杂架构。

7. 建筑热负荷 (Building Thermal Load)

为了实现“源-网-荷”闭环预测，需引入建筑负荷物理模型。基于 ASHRAE 热平衡法 (Heat Balance Method) 的稳态简化形式。

7.1 负荷平衡方程 (Load Balance Equation)

总冷负荷由三部分组成：

7.2 分项计算公式 (Formulas)

1. 围护结构负荷 (Envelope Load):

   Q_{env} = \sum (U \cdot A \cdot CLTD)

   这里采用 冷负荷温差法 (CLTD) 来近似动态传热过程。

2. 内部得热 (Internal Gains):

   Q_{internal} = Q_{people} + Q_{lights} + Q_{equip}
   • ​Q_{people} = N \cdot q_{p} \cdot CLF (人员)
   • ​Q_{lights} = W_{l} \cdot A \cdot CLF (照明)
   • ​Q_{equip} = P_{eq} \cdot \eta_{load} \cdot CLF (设备)

3. 新风负荷 (Fresh Air Load):

   Q_{fresh} = \dot{m}_{air} \cdot (h_{out} - h_{in})

   基于焓差法计算除去新风显热和潜热所需的能量。

7.3 参数详解 (Parameters)

• ​Q_{load}: 总冷负荷 [kW] —— 冷水机组需要处理的“源端”负荷预测值。
• ​U: 传热系数 (U-value) [kW/(m²·K)] —— 墙体或窗户的保温性能 (例如双层玻璃 ​U \approx 2.8 W/m^2K)。
• ​A: 面积 [m²] —— 围护结构表面积。
• ​CLTD: 冷负荷温差 [°C] —— 修正后的等效温差，包含了太阳辐射滞后效应。
• ​CLF: 冷负荷系数 (Cooling Load Factor) [0.0-1.0] —— 反映建筑蓄热特性的滞后系数。
• ​N: 人员数量 —— 办公区实时人数。
• ​q_p: 人均散热量 [kW/person] —— 静坐状态通常设为 0.13 kW (显热 + 潜热)。
• ​h_{out}, h_{in}: 空气焓值 [kJ/kg] —— 室外和室内空气的总能量 (温度 + 湿度)。
• ​\dot{m}_{air}: 新风质量流量 [kg/s] —— 由新风机组 (AHU/PAU) 引入的室外风量。
• 来源出处: ASHRAE Handbook - Fundamentals (2021), Chapter 18 "Nonresidential Cooling and Heating Load Calculations" [9].

参考文献 (References)

1. [ASHRAE 2020] ASHRAE Handbook - HVAC Systems and Equipment.
   • 🔗 ASHRAE Handbook Online
2. [Bernier 1999] Bernier, M. A., & Bourret, B. "Pumping energy and variable frequency drives", ASHRAE Journal, 41(12).
3. [White 2011] White, F. M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill.
4. [ASHRAE 2021] ASHRAE Handbook - Fundamentals, Chapter 21 "Duct and Pipe Sizing".
   • 🔗 ASHRAE Handbook
5. [Rishel 2006] Rishel, J. B. HVAC Pump Handbook. McGraw-Hill Professional.
   • 🔗 Google Books
6. [Gordon-Ng 1994] Gordon, J. M., & Ng, K. C. (1994). Cool thermodynamics: The engineering physics of energy conservation.
7. [Braun 1989] Braun, J. E., Klein, S. A., & Mitchell, J. W. (1989). "Effectiveness-NTU models for cooling towers". ASHRAE Transactions, 95(2).
8. [Wang 2008] Wang, S., & Ma, Z. (2008). "Supervisory and optimal control of building HVAC systems: A review". HVAC&R Research, 14(1).
9. [ASHRAE 2021] ASHRAE Handbook - Fundamentals, Chapter 18 "Nonresidential Cooling and Heating Load Calculations".
   • 🔗 ASHRAE Handbook Online